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数学方法在物理中的应用(1)

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2011届高考黄冈中学物理冲刺讲解、练习题、预测题15:第8专题 数学方法在物理中的应用(1)               

方法概述

数学是解决物理问题的重要工具,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性,能达到打通关卡、长驱直入地解决问题的目的.中学物理《考试大纲》中对学生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求,要求考生有“应用数学处理物理问题”的能力.对这一能力的考查在历年高考试题中也层出不穷,如2009年高考北京理综卷第20题、宁夏理综卷第18题、江苏物理卷第15题;2008年高考四川理综卷第24题、延考区理综卷第25题、上海物理卷第23题、北京理综卷第24题等. 所谓数学方法,就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来,并进行推导、演算和分析,以形成对问题的判断、解释和预测.可以说,任何物理问题的分析、处理过程,都是数学方法的运用过程.本专题中所指的数学方法,都是一些特殊、典型的方法,常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等. 一、极值法 数学中求极值的方法很多,物理极值问题中常用的极值法有:三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等. 1.利用三角函数求极值 yacos θbsin θ =(cos θ+sin θ) 令sin φ=,cos φ 则有:y=(sin φcos θ+cos φsin θ) =sin (φθ) 所以当φθ=时,y有最大值,且ymax=. 2.利用二次函数求极值 二次函数:yax2bxca(x2x+)+c-=a(x+)2+(其中abc为实常数),当x=-时,有极值ym=(若二次项系数a>0,y有极小值;若a<0,y有极大值). 3.均值不等式 对于两个大于零的变量ab,若其和ab为一定值p,则当ab时,其积ab取得极大值;对于三个大于零的变量abc,若其和abc为一定值q,则当abc时,其积abc取得极大值. 二、几何法 利用几何方法求解物理问题时,常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识,如:带电粒子在有界磁场中的运动类问题,物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等.与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用,尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多,此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上,确定方法有以下几种. 1.依切线的性质确定.从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点,过切点作切线的垂线,两条垂线的交点为圆心,圆心与切点的连线为半径. 2.依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦,且平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)确定.如图8-1所示. 图8-1 EB2CE·ED CE·(2RCE) 得:R=+ 也可由勾股定理得: R2=(RCE)2EB2 解得:R=+. 以上两种求半径的方法常用于求解“带电粒子在匀强磁场中的运动”这类习题中. 三、图象法 中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解,若能与数学图形相结合,再恰当地引入物理图象,则可变抽象为形象,突破难点、疑点,使解题过程大大简化.图象法是历年高考的热点,因而在复习中要密切关注图象,掌握图象的识别、绘制等方法. 1.物理图象的分类 整个高中教材中有很多不同类型的图象,按图形形状的不同可分为以下几类. (1)直线型:如匀速直线运动的st图象、匀变速直线运动的vt图象、定值电阻的UI图象等. (2)正弦曲线型:如简谐振动的xt图象、简谐波的yx图象、正弦式交变电流的et图象、正弦式振荡电流的it图象及电荷量的qt图象等. (3)其他型:如共振曲线的Af图象、分子力与分子间距离的fr图象等. 下面我们对高中物理中接触到的典型物理图象作一综合回顾,以期对物理图象有个较为系统的认识和归纳.  
图  象 函数形式 特例 物理意义
yc 匀速直线运动的vt图象 做匀速直线运动的质点的速度是恒矢量.
ykx ①匀速直线运动的st图象 ②初速度v0=0的匀加速直线运动的vt 图象(若v0≠0,则纵截距不为零) ③纯电阻电路的IU图象 ①表示物体的位移大小随时间线性增大. ②表示物体的速度大小随时间线性增大. ③表示纯电阻电路中I随导体两端的电压U线性增大.
yakx ①匀减速直线运动的vt图象 ②闭合电路中的UI图象(UEIr) ①表示物体的速度大小随时间线性减小. ②表示路端电压随电流的增大而减小.
y=·x (双曲线函数) ①由纯电阻用电器组成的闭合电路的UR图象(UR) ②在垂直于匀强磁场的[XCzt71.tifBP]导轨上,自由导体棒在一恒定动力F的作用下做变加速运动的vt图象 ①表示纯电阻电路中电源的端电压随外电阻而非线性增大. ②将达到稳定速度vm=.
ykx2 (抛物线函数) ①小灯泡消耗的实际功率与外加电压的PU图象 ②位移与时间的st图象(sat2) ①表示小灯泡消耗的实际功率随电压的增大而增大,且增大得越来越快. ②表示位移随时间的增大而增大,且增大得越来越快.
xyc (双曲线函数) 机械在额定功率下,其牵引力与速度的关系图象(PFv) 表示功率一定时,牵引力与速度成反比.
yAsin ωt 交流电的et图象(eEmsin ωt) 表示交流电随时间变化的关系.
 
2.物理图象的应用 (1)利用图象解题可使解题过程更简化,思路更清晰. 利用图象法解题不仅思路清晰,而且在很多情况下可使解题过程得到简化,起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果.甚至在有些情况下运用解析法可能无能为力,但是运用图象法则会使你豁然开朗,如求解变力分析中的极值类问题等. (2)利用图象描述物理过程更直观. 从物理图象上可以比较直观地观察出物理过程的动态特征. (3)利用物理图象分析物理实验. 运用图象处理实验数据是物理实验中常用的一种方法,这是因为它除了具有简明、直观、便于比较和减少偶然误差的特点外,还可以由图象求解第三个相关物理量,尤其是无法从实验中直接得到的结论. 3.对图象意义的理解 (1)首先应明确所给的图象是什么图象,即认清图象中比纵横轴所代表的物理量及它们的“函数关系”,特别是对那些图形相似、容易混淆的图象,更要注意区分.例如振动图象与波动图象、运动学中的st图象和vt图象、电磁振荡中的it图象和qt图象等. (2)要注意理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义.
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